hello, everybody, 我是神奇小猪。很多宝贝儿在学完椭圆之后，发现题目出的一个比一个刁钻，做起题来呢是一道比一道难受。所以今天我们就来一个椭圆核心题型的大梳理，帮助大家快速了解椭圆是怎么考的。快点开始吧。首先花一分钟时间，咱简单来复习一下椭圆的基础知识。每个椭圆都有两个焦点，椭圆上的点到两个焦点的距离。p f一加p f二是一个定值，等于二a椭圆作为一个曲线，它也有一个方程是x方比a方加y方比b方等于一。其中这个a是长轴端点的坐标，这个b是短轴端点的坐标，它的交点坐标为正负c这a b c三者是等等量关系的，满足的是a方等于b方加c方。每个椭圆都还有一个离心率，离心率呢咱们用c比a来表示离心率的取值范围在零到一之间。这几个小式子单独看，每一个都不难，但是真正在题目里面它怎么考呢？椭圆作为解析几何当中的一部分，它强调的就是一个数形结合，它有自己独特的图形，还有自己对应的表达式。意味着凡是关于椭圆的题目，很有可能出题人既想考大家几何，又想考大家代数。那连接几何和代数之间最关键的一点就是它的定义，这定义太重要了。p f一加p f二等于二a这一点从我们今天的第一道题要用到最后一道题，咱先来牛刀小试一下。已知f f二分别是椭圆的左右焦点哦，那这个挺正常的啊，往后看他说p点是椭圆上的点，p点在这儿好了，然后说p t是三角形的外角平分线，这是p t三角形f一，p f二外角平分线，外角是这个角。所以我们天然能够得到这两个角度是完全相等的。我们继续做。他又说了，f二t垂直于p t啊，那就意味着这是直角呗。然后他们o t的长度，这看起来哎呦图形太复杂了，有点小恶心。给我这么多条件，我一个也不会用，没思路，咱就一个一个条件看。第一个条件，他说p点在椭圆上，这条件咋用，我们知道呀，椭圆上的点应该怎么样，它到两个交点的距离相加应该正好等于二a但问题是咱想求的那个o t跟这两段粉丝线段长度嘛关系没有，都不在一个三角形里，对不对？因此我们必须想到一个方法，把粉色线段的长度跟蓝色线段长度建立起一个关系。能有啥关系？那我们从几何角度来看呗，第一，这俩角是相等的。第二，这还是直角。所以p t这条直线有点意思，它既是角分线还是处于线，这是初中知识啊，大家手不痒吗？不想哎不想把f二t延长一下嘛，延长完有什么好处？这点我设为h这个绿色的p t既是角分线，又是这三角形的垂线，三线合一。换句话说，这三角形应该是等腰三角形，它的两个腰p f二跟p h应该是完全相等的。咱刚才说了，p在椭圆上得利用上定义这条粉的线，加蓝的线啊，利用定义它俩之和是二a那俩蓝线是相等的，意味着粉线加另外一条蓝线应该也是等于二a的吧。所以我们在已知这个f一h整体等于二a的情况下，人家问你o t多长，我奶奶都能看出来这两条线啥关系，看着不就像中位线吗？为啥是中位线？第一，在椭圆里面o点应该是f一f二的中点。在刚才我们构造的这个三角形里，t应该也是一个终点。因为不是三线合一嘛，t f二跟t h应该是相等的。因此观察整个大三角形f一、f二h o t这个粉色线段就是绿色线段的中位线。中位线长度就是呃底边的一半呗，就等于a a是几，a方是四，a就是二选。所以通过这道题大家发现往往我们做椭圆初学者容易忽略的一点就是最基础的定义。无论他给我的条件长啥样，如果看到有个点在椭圆上，往往很大概率大家是要用上p f一，加p f二等于二a的，然后再去考虑怎么做题，怎么转化，实时刻刻不要忘了定一。那有的宝贝儿已经知道了哦，我要用定义，那我们来做一道高考题。他说f f二是拓圆的两个交点，p呢是c上一点哦，又出现凸圆上一个点了，那赶紧画出来。他说什么p f一垂直于p f二，那这三角形就垂直的呗，直角三角形呗。然后又告诉我一个条件，说p f二f一，其中一个角度是六十度。然后他问椭圆离心率是什么？这种题目非常非常常见，大家看这个三角形它是由椭圆上一点跟两个交点连起来的形成的三角形。这个三角形叫焦点三角形，特别多的题目都是通过给大家焦点三角形的形状。然后最后问大家离心率这道题给的是三十六十九十度的三角形，有的时候呢给你四十五四十五九十的，有的时候给你三十三十一百二的。反正无论怎么样，给我这焦点三角形形状，咱就就能求离心率，怎么求，这都特殊三角形了。三十、六十、九十的边长比应该是一比二比根号三，这是初中数学知识。那我就把三个边长表示一下，这三个编程大家看哪个，你会表示咱表示p f一好，表示还是表示p f二不好表示，还是表示f一f二好表示，那我肯定选f一f二。因为我就直接能给它写成二c这不是焦距吗？所以斜边是二c三十度，所对应的直角边应该是c六十度，所对应的直角边应该是根号三c那我就做到这儿了，大家赶紧把接下来想什么打在屏幕上，那两个字，什么东西定义呀？p f一p f二咱都知道是多少了，它俩的和根号三c再加c应该等于谁呀？应该理应等于二a所以根号三加一c等于二a离心率就是c比a把a除过来，那么就得到了它等于二比根号三加一，分母有理化一下啊，上下都乘以根号三减一，根号三加一乘以根号三减一。最后答案等于根号三减一选d这题只是一个例子。如果以后换一道题，还是给大家一个焦点三角形，然后又是呃给大家一个p点吧，随便给的。现在说什么说这三角形p f一f二是呃随便举例子啊，三十三十一百二的三角形哦又是一个特殊三角形。那怎么做？在这个三角形里面，它是一比一比根号三的初中数学知识，我还是找焦距，焦距是二c那p f二就是二c p f一应该是根号三倍的。二c想找离心率，利用定义它俩之和等于二a啊，得到什么二倍，根号三c再加二c等于二a还是一样，c比a这离心率就有了这样的题目能出一百道，真的难吗？一点都不难，关键是利用好定义好了。那对于这种焦点三角形，我相信在我讲完之后，大家肯定是能理解的那出题人觉得哎这焦点三角形大家太熟了，他给你编一遍，再来看一道经典的十年前的更好题。大家感受一下出题人是如何把大家会的一道题变成大家不会的一道题的。他说已知椭圆呃，左焦点是f有一个过原点的直线啊，这直线呢跟这个椭圆c交于a b两点。那我过圆点做条直线出来，两个叫做a b连接，a f b f慢慢画a f b f。然后说了a b是十，a f是六还是cosine角，a b f是五分之四，a b f是这个角，已知cosine值。然后问托尔的这个离心率是多少，大家先别管，这腿儿，咱就光看这三角形，这三角形两边已经知道了，一个是六一个十，而且一个角也知道了。那我先问大家在解三角形里面，这第三边能不能求啊？三边一角列什么列余弦定理，对不对？这一步跟椭圆根本就一点关系都没有。假设第三边是x那么以角b为核心列余弦定理，那么它方加它方减他方x方加一百减三十六除以二倍的两个临边的乘积。题目中说cosine b是五分之四了，那这里面这个x我就一下就求出来了，我直接写答案了。x是八。当然如果大家对数字比较敏感的话，其实连余弦定理都不用猜，也能猜出来答案。你说一个边是六，一个边是十，然后cosine还是五分之四的那哪个三角形肯定六八十，这三角形啊，六八十这是直角，只有这个三角形cosine b邻边比斜边八比十才是这四比五嘛。所以无论怎么样，现在呢我们把这三角形已经确定好了，这三角形的形状六八十三角形。那现在他问我离心率跟刚才的题目有什么不同，看上去好像真的一点都不一样。刚才我们也是给大家特殊三角形，但是这个三角形是焦点三角形。我把p点跟两个焦点题目帮你连好了，对不对？因为只有焦点三角形，咱们才能利用上p f一加p f二这个定义。但是现在呢这三角形是焦点三角形吗？显然不是，它连另外一个焦点都没给大家，对不对？所以在这种情况下，咱想求离心率就没有刚才那道题那么好求。因为a b两个点虽然在图儿上，但是咱利用不上定义。那我如何才能利用上定义a已经跟左焦点连起来了，b也跟左焦点连起来了。那我是不是得把它们跟右焦点也连起来呀，这么，连还有什么好处？大家观察这个四边形，这四边形是什么图形，有的宝贝反应不过来。首先我们知道这四边形有两条对角线，f f撇，还有a b大家有没有发现这两个对角线是相互平分的呀，这个o肯定既是f f e的终点，它还是a b的中点。o为啥是a b中点？这是非常显然的几何知识。因为我们知道椭圆是一个对称的图形，是一个中心对称图形对称中心是这个圆点。那我过对称中心做这么一条直线，这俩长度肯定是相等的。无论这条直线咱怎么做，它跟妥儿俩交点形成的线段长度必然相等。所以这个四边形其实是个什么什么四边形，应该至少是一个平行四边形吗？对角线相互平分吗？而且还咱知道有一个角六八十是个直角了，有个直角的四边形，应该是个矩形。为啥研究它，刚才说了，咱们连f撇是要利用上定义的矩形有啥特征啊？第一，对f相等，他给我a f是六，那b f撇也应该是六，第二对角线也应该是相等的。它题目给我a b是时我能转化到另外一条对角线上，f f撇也应该是十。所以现在我把这个图重新画一遍，大家看看这道题你会不会一个f一个f撇，上面有一个点b形成了一个焦点三角形，这个角三角形怎么样嘞？这是直角矩形吗？这是六，这是八这是十六八十，那是不是就变成跟刚才一样的题目了，定义马上用起来，六加八十十是谁？十是二，c是焦距啊，所以a是七，c是五，离心率c比a五比七。答案选b这道题出的太绝了，他在第一开始给的你是哪个三角形？是这个三角形，这三角形啥都不是，它不是焦点，三角形定义用不上怎么办？主动找另外一个焦点，这题损就损在另外一个焦点，说都没说需要我们自己画，自己找。然后自己连连完之后把绿色这个不是加点三角形的问题转化成为焦点三角形的问题。那不就能做了吗？所以很多题目是一点儿一点儿给大家编难的。这十年前是这么考，现在模拟题怎么考，他又会给你换一个新玩意儿。现在说了啊，右焦点是f以o为圆心，o f为半径的圆儿啊，以o圆心o f半径圆。那我画个圆儿，这个怎么样呢？这个圆和椭圆在第二和四象限交点分别是a b在第二象限，焦点是a第四象限焦点是b然后给咱角a b f的tangent值连接一下。a b f是这个角宝贝们，它虽然明着没说，但是整个图形是中心对称的椭圆，是关于原点对称的圆，也是关于原点对称的。你这a b肯定也是关于原理对称的，a o b在三点共线上，换句话说，a b就是直径。而且我们还知道焦点f还在圆儿上，直径所对应的圆周角啥东西直角啊。所以虽然他说的花里胡哨的又让你画了一个圆儿，又给了一一个焦点，又给了一个tangent。但实际上跟刚才那道题有啥区别吗？这圆还有不用吗？这边儿一点用都没有，那不还是有一个过原点的直线交于a b两个对称点，然后形成一个直角三角形。怎么做题目，把a b都跟右交点连起来了，我现在把它们给左焦点都连起来，连完壳就舒服了。和刚才一样是个矩形，他说这个角的tangent值是四比三，那谁是四谁三，呃那就，这是四，这是三，我就带特殊值了哈。呃b f十三跟他对面，这也是三，所以二a等于七三四五，三角形焦距长度是五，又变成焦点三角形的问题，二c等于五，c比a和刚才答案都是一样的，还是五比七七。因此通过这么几道题，一点一点儿给大家变化，大家会发现很多时候模型是一个模型，但是圆锥曲线的题目会一点一点儿，通过转化给你变难。或者像这道题一样，通过一些复杂的图形让你去翻译题目中这个圆其实第一开始一点儿用都没有。他无非就是在告诉你这个三角形是直角三角形。这三角形虽然是直角了，但是不是焦点三角形，咱们再转化成焦点三角形，再去做做了这么多题，一直在用的，就是椭圆的定义题目中。如果哎帮我把这两个。焦点都连好了，它是最善良的，他是最棒的。但是如果题目只帮你连了一个焦点，另外一个焦点大家自己想得怎么样？咱得自己连两个焦点，一个不落全都连起来，这样才能利用上定义。接下来我们来看今天的第二个问题，椭圆与解三角形。刚才我们一直讲的是一个单个三角形，让你去解。那现在他如果想上升一个难度，在一个好好的椭圆里面，它可以给你塞好几个三角形。举个例子啊，他说现在有一个椭圆焦点是f一、f二过f二的直线跟椭圆交于a b两点，我教一下，他告诉我a f二是二倍的f二b那这俩点谁是a谁是b a f二是二比f二。b a f二要更长，对不对？b f二要更短，所以呢a b很明显，a f二长b f二短。如果这一段是m那上一段a f二就是二m二比一嘛，我们继续来看。他还告诉我a b等于b f c，那我都连起来了啊，小菜一碟，a b等于b f一哎，俩绿色相港。哎，我们知道绿色按咱这么设的话，是m加上二，m是三m所以意味着哦那原来b f一下面这绿色哎呦，也是三m又有点意思。然后他就开始啊问我这个椭圆c的方程了。那大家看吧，这道题我除了我自己设出来这个m之外，还有什么条件，你能用，没别的条件了，无非就是点a点b在椭圆上，在椭圆上点用什么小笨蛋，用定义啊，b点到俩交点距离，咱都知道了。一个是m一个是三m它俩之和应该正好等于我想要的二a所以原来a就是二m换句话说m就是二分之一a所以现在这我也不写m了，我写a m是二分之一a这样呢咱就避免多设一个变量。m是二分之一，a三，m就是二分之三，a二m就是a舒服了啊。那b点到俩焦点咱已经研究完了。那另外一个点点a已经迫不及待了，赶紧把俩焦点看一看，这俩绿色加起来应该是二a啊啊。那你这已经是a了，那你说这是几？这a m v也得是a加a才是二a啊。所以分析来分析去，原来a f一和a f二是相等的，这三角形应该是等腰三角形。等腰三角形有啥用？按理来说，a应该正好在f一f二的垂直平分线上。其实a是哪个点？a应该在y轴上a点，只有在这儿的时候，那才能让a f c等于a f二啊，所以图形我们在右边重新画一个。第一开始这个并不准a f二延长出去是点b b f一连接起来。在这个三角形里面每个边长，这是a这是a b f二是二分之一，a b f一是二分之三a那咱们仔仔细细来看一下这个图，我们知道a b两点在图儿上，我们已经利用定义把这三角形每一个边都算出来了。而且我们还知道啊中间这是谁呢？这是f一f二焦距啊，焦距长度呢应该是二c那既然每个边我都找到了，再来变魔术，这题跟椭圆就没关系了，跟平面直角坐标系都没关系的，跟a点、b点f一f二都没关系了。我们现在就是一个单纯的解三角形问题，上面一个三角形，下边一个三角形，两个三角形，三个边都知道找a c关系怎么找，我们回顾一下解多三角形的一个知识，遇见多三角形该如何解。我们有两个做法对应两种题型。第一种方法，咱先讲贴贴法，无论是在解三角形里面，还是在圆锥曲线里面，还是任何一种题目里面。如果大家发现两个三角形这么紧紧的贴在一起，那这就是一个多三角形问题。那如果题目还告诉你，它底边的比例关系了，我就拿二比一举例。真正题里面给你什么三比一三比一、五比一六比七七比八给几都行。我们做题方法永远是一样的。我们说这是b这是c呃，这个呢就是a呗。那当然如果是二比一关系的话，那我就简单写了，它是三分之二a它是三分之一a中间这个a d呢我设为一个m很多题目需要大家去找a b c m这么几个量之间的关系，怎么找最简单的方法。双鱼嫌贴贴法，我们去看它的公共边旁边的两个贴在一起的角角阿尔法角、贝塔这俩角是互补的，他们的cosine值应该是正好互为相反数的，这是诱导公式的知识哈。比如cosine六十度就是二分之一，相应的跟它互补的cosine一百二十度就是谁呀？就是负二分之一，正一负，然后找到两个角关系没有。我们真正要的是边长之间的关系。我们发现左边能构成一个三角形，这蓝色三角形三个边咱全知道类似的，右边也可以构成一个三角形。它的三个边我们也知道，所以我们干脆左边三角形列一次余弦定理。他方加他方减他方除以二倍，林边乘积右边我再列一次预先定理cosine贝塔等于邻边平方和减对边平方。我直接写了n方加三分之一a方减b方除以二倍，零边乘积。他俩咋样？它俩是互为相反数的，这符号可别忘了写。所以我们通过两个贴在一起的角度列两次余弦定理，就直接把a b c m之间的关系列出来了。这式子只需要大家化简就可以了，别觉得难，化简很简单，因为好多东西都是一模一样的，该约的全都约掉了。这是个小学基本的数学问题。所以回归到我们刚才那道题，是不是同一个问题，上下两个三角形紧紧的贴在一起，我就找公共边，贴在一起的两个角角阿尔法和角贝塔。这两个角余弦值互为相反数，绿色三角形以cosine阿尔法列余弦定理两邻边平方和减对边平方a方加二c方减a方除以二倍，林边乘积等于负的下面粉色三角形再列一个cosine贝塔的预先点。cosine贝塔邻边平方和减对边平方二c方加二分之一，a方减二分之三，a方除以二倍，另变成该约的咱全约二c二c约掉二二，约掉a a约掉a方，a方约掉左边就剩了一个四c方，右边是负的。负的谁呢？二分之一啊，如果提上去的话，就变成了二负二倍的四c方加四分之一，a方减四分之九，a方继续化简，四c方等于负二倍的四c方，四分之一减四分之九是负四分之八，就是负二a方，四c方等于负八，c方加四a方，所以四a方等于十二c方。那么c方比a方就是三分之一，c比a离心率e是根号下三分之一啊，那是这题没问我离心率啊，问的我是方程，方程没关系啊，他这给我f f二了，这里面c就是一a呢就是根号三，b就是根号二。所以答案a方是三，b方是二选b完美。所以大家看着第一开始，哎，这是椭圆的问题。但实际上转化着转化着，最后跟妥然骂关系。没有，咱什么地方用到了椭圆，在求各个边长的时候，用到了椭圆的。什么刚讲过的椭圆，定义椭圆是个幌子，出题人把解三角形偷偷藏在椭圆这道难题的里面而已。当然刚才呢这个多三角形其实还有一另外一种解法我没讲完。刚才我们用的方法是找两个贴在一起的角cosine值互为相反数。我们除了它之外，我们还有一个方法叫向量鸡爪子法，鸡爪子定理，或者说三点共线定理，是我们在向量里面学的。他说什么呢？如果我们已知b d跟d c的比值关系，那我们一定能得到a d a b a c。你看这三个小绿线是不是挺像一个鸡爪子的，他们三个之间的向量关系是我们能找到的，这关系特别好找。b d向量是d c向量的两倍嘛，那b d能怎么写呢？b d可以写成a d减a b类似的d c怎么写？d c可以写成a c减a d两边a d合在一起就得到了三a d等于a b加二a c所以两边都除以三a d向量等于三分之一，a b加三分之二a c那这个向量是有什么用？a d a b a c都是向量，我们找的是边长之间的关系啊，怎么通过向量找模长嘞，咱们两边平方，左边平方，右边也平方。你一平方，完a d的平方，就是它模长的平方呗，等于看右边，这是一个完全平方式，而且是一个向量的完全平方式，等于第一项平方。九分之一，a b方加第二项平方加二倍，两者乘积。什么积是数量积，它俩得做数量积三分之一，a b向量，第二乘三分之二a c向量。那我把该设的设一设跟刚才一样，这是m这是b这是c b c是a所以把刚才得到的子化简一下，a d的平方就是m方等于九分之一。a b方九分之四，a c方加二乘以三分之一乘以三分之二倍的卡。哈喽，数量计数量计怎么算来着？利用定义模长，模长乘以夹角，所以就是b乘c乘以cosine夹角。如果题目把角a这个夹角给我了，那么直接就能得到a b c和m之间的关系。所以以后大家再遇见什么多三角形的问题，两个贴在一起的两个方法。第一个找向量，鸡爪子用三点共线定理，或者用两次余弦定理。两种方法之间有什么区别？在第一个向量法里面，它会出现顶角的值。如果题目给了我顶角，或者让你求这个顶角，我们用向量法比较快。因为最终式里面它最终就有这个角度。但是如果用双鱼嫌贴，法法，大家发现呢这个式子里面没有任何一个是角度，它全都是边之间的关系，对不对？所以如如果我们想找全是边。之间的关系，那就用双余弦贴贴。当然我要说明一下这俩方法本质上是一模一样的。有还是没有这个顶角a顶角伽马的值并不影响大局。因为我们知道这个顶角，cosine伽马其实可以在最大的这个三角形里面是不是列余弦定理来表示啊。这个cosine伽马其实就是cosine角a它能写成二b c分之b方加c方减a方，这不就把角用边来表示吗？你如果把这个边带进去，最后化简完这个式子跟右边方法式甲烷的式子，那是同一个式子，没有任何区别。鸡爪子法跟贴贴法，爱用哪个就用哪个，哪个用的熟练就用哪个了。ok讲完了多参加性问题。那么接下来我们来看今天的最后一种题型，暴力计算。啥叫暴力计算啊？就至于整个这道题目里面没有涉及太多的解三角形的知识，就单纯的进行代数运算。这里面给大家举了两个例子啊，一个是什么呢？它说动点p在椭圆上啊，然后干什么呢？他说b呢是椭圆的，一个上顶点，问这个p b什么时候是最大的，那p点在动，那有可能短了，有可能长了，对不对？那具体在什么时候它最大啊，那有的宝贝儿可能觉得哎呀是不是p在下顶点的时候，这个长度一定是最大的呢？这个不一定，因为有可能是在p在另外一个湖上的时候，这个长度可能啊可能会比这个还要大。我们用肉眼看是看不出来的，咱得算究竟怎么算。哎，那大家可以来想一想，当然我们还有第二道题，现在还是p在这个椭圆上问什么呢？啊，现在有一条直线啊，这一条直线我自己设一下。二y是x减四，y就是二分之一x减二，大约这条直线要这样画。现在问p在哪儿的时候啊，它到直线的距离啊，这少打俩字儿啊，是距离，它是最小的啊。那我显然这个p点在这儿的时候，这个距离就大呗。那p点问什么时候，最小最小值是多多少？那这个你用肉眼看，能看出来是不是也得酸呀。所以像这两道问题，我们都把它归纳成为叫暴力计算。那我们一道一道给大家一起算。首先第一个我们既然已经知道哦，b是上顶点，意味着点b的坐标，我是不是就知道了，点b坐标应该是零一，那p在动啊，那p在动的过程当中，哎，我也不知道他在哪儿动啊，你不知道在哪儿动，那我就设为x y y，但是你设成x零y零也是可以的。现在问p b最大值，我姥姥都知道俩点坐标都有了，问距离，那不就两点间距离公式嘛，所以l等于根号下x减零的平方，就是x方加上y减一的平方，这就是我们要求的p b的长度。那这最大值啊怎么求啊？这是一个函数问题吧，求最值嘛，那求最值的时候，这函数有几个变量呢？我发现有俩变量有x u y，那咱怎么办？咱会怎么办？只能俩变量成一个变量。参赛会啊，咱得消圆，怎么消元消元，你就是找x和y的关系。哎，你x y是点p坐标，点p在椭圆上，x y就满足椭圆这个方程，咱们就用这椭圆方程去消圆。那么问题来了，我们是把x消掉，还是把y消掉，是撞大运吗？不是你得看式子，y好消吗？y减一平方，完可是y方减二y加一，这有两个不同的y一个是一次幂，一个是二次幂。想同时相掉很难，但是x是光棍，光棍是好消掉的。我们直接把这里面的x方写成五倍的一减y方。别问为什么小学数学知识啊，自己算一个加就好了，带进来x方，现在不是x方了，而是一个y的变量，五减五y方后面提出来y方减二，y再加一化简一下。很显然里面应该是一个二次函数，四y方减二，二y再加六二次函数，求最大值。按理来说啊，感觉这二次函数开口向下的最大值应该是在顶点处取的。但是顶点取不取得到，咱是不是还没求这自变量y的取值范围呢？我们求值域，求取值范围，求最值前提条件得把自变量范围求一下。y是纵坐标，哎，纵坐标你说它在动的过程当中，最高能动到哪？能动到这儿上来吗？在椭圆上怎么能跑出去呢？椭圆最高最高就是一最矮最矮最小值，纵坐标就是负一。所以五y应该在正负一之间，这一定得写。所以我们先画一下里面这二次函数的图像，看看那个顶点能不能觉得到啊，它是一个开口向下的二次函数，它的对称轴负二，它分之，它算一算应该是负二倍的，负四分之负二应该是负四分之一，负四分之一处取得最大值。但是我要的是哪一段？我要的是负一到一这段儿，这是负一，这是一要这样一段。那在这段里面正好包含这上顶点，对不对？所以他问我什么时候取得最大值哦，图像都让我画出来了，那求最大值就是探囊取物，咱直接把负四分之一带进去，根号下负四乘以负四分之一的平方，减二倍的负四分之一再加六，这就是答案，接完应该是二分之五。所以真的像我们第一开始觉得的啊，他是在最下边这个时候取的最大值吗？不是，是在y取负四分之一，大约在这个位置，它是最大的。因为我们画这个呃椭圆其实是一个草图，这椭圆这个a是呃根号五，b是一真正的图啊，它应该是非常非常扁的。所以对于一个非常扁的腿啊，你说是这个粉的长还是这个黑的长，那明显黑的比粉的要长吧。因此像这样的，你不算是不可能知道答案的。现在还是一个椭圆，还有一条直线呃，直线在我们化解了，答案是y等于二分之一，x减二啊，是这条直线。长这样的啊。没错，那我写还是写一般式吧，他说怎么的呢？他说这下面有个p p点，问我到椭圆什么时候最短，这想都不用想点到直线距离，对不对？直线我知道，但是点我没设没设怎么办设呀？我们第一开始的思路肯定是还是跟刚才一样，我还是把它设成x y这种没毛病吧，然后点到直线距离呢。那我们一想和刚才其实是一样的，我们已知x y是满足这个条件的，点到直线距离公式写成根号下一方加负二的平方分之这点坐标代入到这里面去取绝对值x减二y再减四，别打问号。这是点到直线距离的公式啊，所以化简一下，下边是一个根号五啊，就是根号五分之一，再去x减二，y减四的绝对值做到这儿啊。有的宝宝他觉得他会了啊，和刚才一样，我们把已知的x y这个式子去消圆啊，去把这个x呀或者y呀消掉。但是消的过程当中，大家发现我们刚才那道题题目里面是x方，y方都是二次的。我们要求的也是x方也是二次的，二次二次是可以直接替换的。但是这道题不一样啊，我们已知的是x方，y方是二四，但是我们求的都是什么？都是一次的。你要是用直接代换的方法，抱歉，你把x方写成一减y方再乘五，但是x是谁？x是正负根号下五倍的一减y方。难道你把这个大根号带进去？这狮子爷爷长得太恶心了吧，所以说明我们目前这个方法不好做。即便有的宝贝说，哎呀，我把这个平方一下行不行？我把它平方，我先算一下它的平方，它平方，但是你平方完你会发现它是三项，它一定会有既有x方又有y方，还有两者乘积。两者乘积你会有负四x y你x y方好解决，那你这俩乘积怎么解决还是不好解决，所以直接平方意义也不大。因此今天教大家一个新方法，这是妥儿方程。这式子左边有一个变量x有第二个变量y而且x y都是二次，它是一个二元二次式处理。二元二次是我们最常用的一个方法，可以用三角换元来做。我们把这个字重新写一下，它其实就是x比根号五的平方，加上y方等于一啊两个平方和是一。哎，我们之前好像学过一个什么东西，平方加一个什么东西，平方等于一了，谁方加谁方等于一cosine方，加sine方，是不是才是一呀？所以我是不是可以把这个整体设为cosine阿尔法cosine方，把它设成sine。阿尔法sine方等于一，这就叫三角换元令x比根号五等于cosine。阿尔法就意味着x我现在取的是根号五cosine阿尔法，另外等于sine阿尔法三角换元有什么好处啊？咱第一开始这么设的时候是有两个变量的。但是现在我设完，我把x一看成有关阿尔法的一个函数，把y也看成有关阿尔法的一个函数。现在我不设x y了，我设根号五cosine阿尔法y是sine阿尔法这么设，它只有一个变量阿尔法。所以最后我们化简的这个式子也不是有x y两个变量的，它应该只有一个变量，x取根号五cosine阿尔法减二倍的y y是sine阿尔法。那紧接着他问我整个式子的最大值、最小值，我只要先看看里面这个最大值，最小值不就行了吗？这是什么题？a倍多少倍，sine加多少倍，cosine辅助角公式它能写成根号下a方加b方倍的sine阿尔法加一个角度。它的值域是需要大家背下来的，因为sine这整体你们别管里面是谁，反正三十整体在正负一一之间正负一乘了一个数，那么整个它就在一乘根号a方加b方到负根号下，a方加b方之间。这就是中间这边的值域，所以中间这东西它的范围应该在正负根号下，它方加它方之间告一下五加四等于正负三。我写成区间形式负三到三。当然别忘了人家干嘛了，人家减四了，对不对？减四我就把两个端点值也减个四负三减四是负七三，减四是负一。当然别忘了还干嘛了，还没算完，还取绝对值呢呀，距离怎么可能是负的呢？这么一取绝对值，负七到负一，取完绝对值就是一到七，最后再乘个根号五分之一，所以最小值就是最最小值除以根号五就是五分之根号五完美。所以通过两道暴力计算的题目，我们都是在第一步去设那个动点的做标。但是设的方法不一样，一道题是直接设，把p点设成x y来做，适用于当我们想求的那东西也全都是平方的时候。但是一旦我们想求的东西变成一次幂了，你咱怎么建立起二次幂跟一次幂之间关系呢？不好建立，那么我就果断利用三角还原，把一个普通的多元函数问题变成一个三角函数的单元问题。用三角函数的恒等变换去做。以上就是今天的关于椭圆的所有内容。我们讲了如何利用定义。如果题目直接帮我把焦点连好了，p f一p f二都连好了，那直接用的定义。但是如果题目中很坏，他给我连了一个焦点，另外一个焦点没连，哎，我自己连连好，再用定义。第二解三角形，解三角形可以是单个的三角形，也可以是把一个好好的三角形一刀两断在左右，分别去解三角形。我们讲了两个方法，分别是向量、鸡爪子，还有左右两次。双鱼嫌贴贴法，两个方法本质是一样的。最后我们讲了暴力计算。当他说椭圆上有一个动点八八八八八八，然后问什么什么最值的时候，那我需要把这个动点设出来，设的时候有两种设的思路。第一种干巴巴的就设x y好处是简单啊，看起来多简单啊，但坏处是你引入了两个变量，另外一种设计思路，咱可以利用三角还原。如果出现什么x方比a方加y方比b方等于一，咱怎么看呢？把它写成a比x方，y比b方，它方加它方等于一，它是cosine阿尔法，它是sine阿尔法。把x写成a倍，cosine阿尔法把y写成b倍，sine阿尔法p点。我也可以这样设a倍cosine b倍c a b都是已知的值。所以我认为这虽然看着复杂，但是它本质上只有一个角度，阿尔法作为单一变量，很多时候能出其不意帮助我们解决很多设x y解不了的问题。晚节早啊。